1
2
-2022
– III
: : 100
: ,
-
1. x (TC)
:
C = 60 - 12x + 2x2. (AC) (x)
AC
, AC
= MC (MC)
2. :
u = xy2 - 3x - 5y , fxy = fyx
-
3. , p = 10 - x - x2 p = x - 2
, (CS) (PS)
4. :
- www.onlinedoctranslator.com
2
2
()∫ 𝒙
𝟐
ⅇ
𝒙
ⅆ𝒙
(ii)∫ 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ⅆ𝒙
-
5.
6. :
3 4 2
1 0 1
5 6 7
-
7. (a)
(8) Z = 2x_{1} -
3x_{2}
:
4x_{1} + 5x_{2} <= 40
x_{1} + 3x_{2} <= 12
x_{1} - x_{2} >= 2
x_{1} >= 4
x_{1}, x_{2} >= 0
3
2
8. - -
:
0.20
0.05
0.20
0.25
500 200
4
2
-2022
– III
: : 100
: ,
-
1. x (TC)
:
C = 60 - 12x + 2x2. (AC) (x)
AC
, AC
= MC (MC)
1. : : : C = 60 - 12x +
2x² C , x
-
:
• 60: , ,
• -12x: ,
• 2x²: ,
2. ()
, x
:
= / x = (60 - 12x + 2x²) / x = 60/x - 12 + 2x
5
2
-
3.
: AC
, x AC
:
()/dx = -60/x² + 2 = 0
:-60/x² = -2 60/x² = 2 x² = 30 x = √30 ≈ 5.48
5.48
4. = MC: , ,
(AC) (MC)
, MC :
= ()/ = -12 + 4x
x = √30 : AC = 60/√30 - 12 + 2√30 ≈ 10.95 MC = -12 + 4√30 ≈ 10.95
,
AC MC ,
5. (MC) :
MC , MC :
()/ = 4 = 0
, MC
, x ,
0
x = 0 , MC = -12,
, :
: ,
,
():TC (C = 60 - 12x + 2x²) x
:
• (60)
6
2
• -12x ,
• , 2x² , ,
,
(): ( = 60/x - 12 + 2x)
- :
• , , AC
• - ,
• , AC
AC (x ≈ 5.48 )
" "
():MC (MC = -12 + 4x)
:
• MC (-12 x = 0),
• - x , MC
• MC (x = 0 ),
: AC AC = MC ,
:
• AC , MC, AC ( )
• AC , MC AC ( )
• AC , MC, AC
MC < AC , MC > AC
,
:
• :x ≈ 5.48
7
2
• AC MC
, AC ,
MC
• : (
) , ( )
• ,
• : MC
MC ,
:
• :
• :
• - : ,
-
• ,
• : ,
,
,
, ,
,
8
2
2. :
u = xy2 - 3x - 5y , fxy = fyx
: - :
- ,
, : x y.
a) x (∂u/∂x fx): , y x
∂u/∂x = y² - 3
:
• x xy² y² (y )
• -3x -3
• -5y x
b) y (∂u/∂y fy): , x y
∂u/∂y = 2xy - 5
:
• y xy² 2xy (x )
• -3x y
• -5y -5
2. - :
, - -
a) x (∂²u/∂x² fxx): x fx
∂²u/∂x² = 0
x y² - 3 0 (y )
b) y
(∂²u/∂y² fyy): fy y
∂²u/∂y² = 2x
9
2
y 2xy - 5 2x (x )
) (∂²u/∂x∂y fxy): x , y
fx = y² - 3 , y :
∂²u/∂x∂y = 2y
) (∂²u/∂y∂x fyx): y , x
fy = 2xy - 5 , x :
∂²u/∂y∂x = 2y
3. fxy = fyx:
:
fxy = ∂²u/∂x∂y = 2y fy = ∂²u/∂y∂ = 2y
, fxy = fyx
, :
:
u = xy² - 3x - 5y , , x y , -
:
1. ∂u/∂x = y² - 3 y x u
y² y
2. ∂u/∂y = 2xy - 5 x y u
2xy x y
- :
-
1. ∂²u/∂x² = 0 x x
, x-
10
2
2. ∂²u/∂y² = 2x y , x
- x , y
:
fxy fyx
, 2y , :
1. - y , x
2. - x , y
3. (2)
fxy = fyx :
(fxy = fyx)
,
:
1. :
2.
3.
- :
:
1. :
,
2. :
,
3. : ,
4. : , ,
11
2
:
u = xy² - 3x - 5y - (x,
y, u) x y u
• xy² y , x
• -3x x
• -5y y
,
:
u = xy² - 3x - 5y ,
,
:
• ∂u/∂x = y² - 3
• ∂u/∂y = 2xy - 5
• ∂²u/∂x² = 0
• ∂²u/∂y² = 2x
• ∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x = 2y
,
x y (fxy = fyx)
, ,
12
2
-
3. , p = 10 - x - x2 p = x - 2
, (CS) (PS)
: 2: , ,
:
10 - x - x² = x - 2
, : 10 - x - x² = x - 2 12 = 2x + x² x² + 2x - 12 = 0
: x = [-b ± √(b² -
4ac)] / 2a
a = 1, b = 2, c = -12
x = [-2 ± √(4 - 4(1)(-12))] / 2(1) x = [-2 ± √52] / 2 x = [-2 ± 7.211] / 2
: x₁ = (-2 + 7.211) / 2 = 2.6055 x₂ = (-2 - 7.211) / 2 = -4.6055
, x = 2.6055 (4 )
3:
:
= 10 - x - x² = 10 - 2.6055 - (2.6055)² = 10 - 2.6055 - 6.7886 = 0.6059
0.6059
4: ()
, 0
= ∫[0 2.6055] (10 - x - x²) dx - (0.6059 * 2.6055)
: ∫(10 - x - x²) dx = 10x - x²/2 - x³/3
0 2.6055 : CS = [10(2.6055) - (2.6055)²/2 - (2.6055)³/3] - [10(0) - 0²/2 - 0³/3] -
(0.6059 * 2.6055) CS = [26.055 - 3.3943 - 5.8924] - 0 - 1.5787 CS = 16.7683 - 1.5787 CS =
15.1896
5: (PS)
0
= (0.6059 * 2.6055) - ∫[0 2.6055] (x - 2) dx
13
2
: ∫(x - 2) dx = x²/2 - 2x
0 2.6055 : PS = (0.6059 * 2.6055) - [(2.6055)²/2 - 2(2.6055)] - [0²/2 - 2(0)] PS =
1.5787 - [3.3943 - 5.211] PS = 1.5787 - (-1.8167) PS = 3.3954
,
:
1. : -
, - ,
, p = 10 - x - x² ,
x x²
- , ,
2. : -
, - ,
, p = x - 2 ,
x - , ,
3. : ,
,
, 2.6055
0.6059
:
,
, 15.1896
, $10
, $7 $3
14
2
-
:
1.
2.
3.
:
,
, 3.3954
,
$5 , $8 $3
-
:
1.
2.
3.
:
, 15.1896 + 3.3954 = 18.5850
15
2
:
1. :
(, )
" "
2.
,
,
3. : ,
4. :
,
,
-
,
, ,
- ,
,
,
4. :
()∫ 𝒙
𝟐
ⅇ
𝒙
ⅆ𝒙
(ii)∫ 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ⅆ𝒙
: :
,
,
16
2
, :
1. ( )
2.
3.
4.
5.
,
:
, ,
:
∫u dv = uv - ∫v du
u v, x , du dv
, :
(i):∫x^2 ^
: x^2 e^x
-- :
1:u dv u ,
dv
u = x^2 ( ) dv = e^x dx (
)
:du v du = 2x dx (x^2 ) v = e^x (e^x )
3: ∫x^2 e^x dx = x^2 e^x - ∫e^x (2x dx)
4: : x^2 e^x - 2∫xe^x dx
∫xe^x dx
u = x dv = e^x dx
= = ^
17
2
∫xe^x dx = xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C
5: ∫x^2 e^x dx = x^2 e^x -
2(xe^x - e^x + C) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
6: ∫x^2 e^x dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
C
(ii): ∫log x dx
,
1: ∫log x dx = ∫ln x dx (log ln
)
: u dv u = ln x dv = dx
3:du v du = 1/x dx (ln x ) v = x (dx )
4: ∫ln x dx = x ln x - ∫x (1/x dx) = x ln x - ∫dx = x ln x - x +
C
:
:
∫x^2 e^x dx : , e^x (x^2 - 2x + 2) + C,
e^x x^2 ,
-2x +2 - ,
x - ""
: d/dx [e^x (x^2 - 2x + 2)] = e^x (x^2 -
2x + 2) + e^x (2x - 2) = e^xx^2
∫ln x dx : , x ln x - x + C, x ln x
-x dx
: y = ln x , 1 x
x ln x - x + C x
: d/dx [x ln x - x] = ln x + x(1/x) - 1 = ln
x
18
2
:
:
1. : e^x ,
2. : ,
3. :
4. , (e^x )
5. : , ,
:
,
:
1. :
, ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C n ≠ -1
2. :
, ∫cos(x^2) * 2x dx u = x^2
3. :
4. :
:
1. :
,
19
2
2. ,
u dv
3. -,
4. : (C)
5. :
,
6. : ,
:
, ∫x^2 e^x dx ∫log x dx, :
-- ,
,
,
- ,
,
- -
- ,
-
5.
:
20
2
,
, , ,
,
(, A) ,
aija_{ij}aij , iii jjj
, m× \times nm× m n
,
:
1. :
:
1×31 \times 31×3
2. :
:
3×13 \times
3. :
:
22×2
4. : , ( )
:
21
2
3×33
5. :
1 :
1
6. ( ):
:
,
7. :
,
:
S=ST
8. - -
, , AT=−AA^T = -AAT=−A. :
22
2
-
9. :
:
o :
o
o : :
10. - :
o : ,
o - : -
,
11. AAA
, , A×AT=IA \times A^T = IA×AT=I.
, :
1. :
2. : ( )
3. AAA BBB AAA
BBB
4. : AAA
5. :
-
23
2
6. : AAA , A−1A^{-1}A−1 ,
A×A−1=I.
,
,
6. :
3 4 2
1 0 1
5 6 7
:3x3 ,
,
:
?
A , A−1 , A
III 1
0 3x3 , :
, A⋅A−1=A−1⋅A=I
24
2
3x3
1. : ,
3x3 AAA ,
:
2. : AAA :
a 3, b=4b = c=2c, d=1, e=0, f=, g=5g = 5g=5, :
−14-14−14 , ,
,
3. 2x2
25
2
, (, 3) ,
, :
:
0⋅7−1⋅6=−60
, 3 −6-6−6
• 4 ( , ) :
• 2 ( , ) :
• 1 (
, ) :
26
2
• 0 (
,
) :
• 1 (
, ) :
• 5 ( , ) :
• 6 ( ,
) :
• 7 ( , ) :
27
2
, :
4. : ,
:
, :
5. ( ) :
,
:
6. :
−14-14−14 ,
−14-14−14 :
28
2
:
, :
, AAA A−1A^{-1}A−1
,
29
2
-
7. (a)
: ()
, ,
:
1.
, $20
, 5 $100 , 10
$200
,
, , -
2.
, ,
,
3. ()
, LP
,
,
12.5 , ,
, ,
4.
( ,
, )
, , , -
,
30
2
5. -
- ,
, ,
6.
,
,
:
, X Y
( , , )
, :
• :X Y
• :,
• X Y
X Y
, ,
, LP
, , ,
31
2
(8) Z = 2x_{1} -
3x_{2}
:
4x_{1} + 5x_{2} <= 40
x_{1} + 3x_{2} <= 12
x_{1} - x_{2} >= 2
x_{1} >= 4
x_{1}, x_{2} >= 0
:
Z = 2x₁ - 3x₂
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
3. x₁ - x₂ ≥ 2
4. x₁ ≥ 4
5. x₁, x₂ ≥ 0
--
1.
, :
) :
• = 2x₁ - 3x₂
•
• x₁ 2
• x₂ 3
) :
•
32
2
• - 5
•
2.
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
3. x₁ - x₂ ≥ 2 → x₁ - x₂ - 2 ≥ 0
4. x₁ ≥ 4
5. x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0
3.
0
:
1. 4x₁ + 5x₂ = 40
o x₁ = 0:5x₂ = 40 → x₂ = 8
o x₂ = 0:4x₁ = 40 → x₁ = 10
o : (0, 8) (10, 0)
2. x₁ + 3x₂ = 12
o x₁ = 0: 3x₂ = 12 → x₂ = 4
o x₂ = 0: x₁ =
o : (0, 4) (12, 0)
3. x₁ - x₂ = 2
o x₁ = 0:-x₂ = 2 → x₂ = -2 ( )
o x₂ = 0: x₁ = 2
o : (2, 0) (4, 2)
4. x₁ = 4
o x₁ = 4
4.
33
2
,
:
• 4x₁ + 5x₂
= 40
• x₁ + 3x₂
= 12
• x₁ - x₂ = 2
• x₁
= 4
• (- )
5.
,
:
a) x₁ = 4 x₁ - x₂ = 2
• 4 - x₂ = 2
• x₂ = 2
•
:(4, 2)
b) x₁ = 4 x₁ + 3x₂ = 12
• 4 + 3x₂ = 12
• 3x₂ = 8
• x₂ = 2.67
•
:(4, 2.67)
c) x₁ = 4 4x₁ + 5x₂ = 40
• 16 + 5x₂ = 40
• 5x₂ = 24
• x₂ = 4.8
• : (4, 4.8)
6.
,
:
1. (4, 2) [x₁ = 4 x₁ - x₂ = 2 ]
34
2
2. (4, 2.67) [x₁ = 4 x₁ + 3x₂ = 12 ]
7.
Z = 2x₁ - 3x₂ :
1. (4, 2) : = 2(4) - 3(2) = 8 - 6 = 2
2. (4, 2.67) : = 2(4) - 3(2.67) = 8 - 8.01 = -0.01
8.
Z ,
Z
:
• (4, 2) : = 2
• (4, 2.67) : = -0.01
, :
• x₁ = 4
• x₂ = 2
• Z = 2
:
1. :
o x₁ = 4 1 4
o x₂ = 2: 2 2
o Z = 2:
2. :
o x₁ 2
o x₂ 3
o :
▪ x₁ : 2 × 4 = 8
▪ x₂ : 3 × 2 = 6
▪ : 8 - 6 = 2
35
2
3. :
o (4, 2) :
▪ x₁ = 4 ( )
▪ x₁ - x₂ = 2 ( )
o
o
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
o 4(4) + 5(2) = 16 + 10 = 26 ≤ 40 ✓
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
o 4 + 3(2) = 4 + 6 = 10 ≤ 12 ✓
3. x₁ - x₂ ≥ 2
o 4 - 2 = 2 ≥ 2 ✓
4. x₁ ≥ 4
o 4 ≥ 4 ✓
5. x₁, x₂ ≥ 0
o 4 ≥ 0 2 ≥ 0 ✓
,
:
1. x₁ :
o x₁ = 4 ,
o x₁
2. x₂ :
o x₂ 2
o ,
36
2
:
1. :
o x₁
o x₂
2. :
o :
▪ (4x₁ + 5x₂ ≤ 40)
▪ (x₁ + 3x₂ ≤ 12)
▪ (x₁ - x₂ ≥ 2)
▪ (x₁ ≥ 4)
:
• x₁ = 4, x₂ = 2
• Z = 2
•
• :
o x₁
o x₂
o
37
2
8. - -
:
0.20
0.05
0.20
0.25
500 200
:
, :
• :
•
• :
o 500
o 200
(0.20, 0.05, 0.20, 0.25) "- " "
" :
:
• 1 0.20
• 1 0.20
:
• 1 0.05
• 1 0.25
2.
:
• ()
38
2
•
3.
:
• = X₁
• = X₂
:
1. : X₁ = 0.20X₁ + 0.05X₂ + 500 ( : =
+ + )
2. : X₂= 0.20X₁ + 0.25X₂ + 200 ( : =
+ + )
4.
:
1: X₁ - 0.20X₁ - 0.05X₂ = 500 0.80X₁ - 0.05X₂ = 500
2:-0.20X₁ + X₂ - 0.25X₂ = 200 -0.20X₁ + 0.75X₂ = 200
: 0.80X₁ - 0.05X₂ = 500 ( 1) -0.20X₁ + 0.75X₂ = 200 ( 2)
:
1 4 :3.20X₁ - 0.20X₂ = 2000
2 1 :-0.20X₁ + 0.75X₂ = 200
: 3X₁ + 0.55X₂ = 2200
2 :0.75X₂ = 200 + 0.20X₁ X₂ = (200 + 0.20X₁)/0.75 X₂ = 266.67 + 0.267X₁
1 : 0.80X₁ - 0.05(266.67 + 0.267X₁) = 500 0.80X₁ - 13.33 -
0.013X₁ = 500 0.787X₁ = 513.33 X₁ = 652.26
X₂ :X₂ = 266.67 + 0.267(652.26) X₂ = 266.67 +
174.15 X₂ = 440.82
5.
:
• (X₁)= 652.26 (2 )
• (X₂)= 440.82 (2 )
39
2
6.
:
: 0.20(652.26) + 0.05(440.82) + 500 = 652.26 130.45 + 22.04 + 500 = 652.49
( )
: 0.20(652.26) + 0.25(440.82) + 200 = 440.82 130.45 + 110.21 + 200 = 440.66
( )
7.
:
(652.26 ):
• 500
• 130.45 (652.26 20%)
• 22.04 (440.82 5%)
(440.82 ):
• 200
• 130.45 (652.26 20%)
• 110.21 (440.82 25%)
8.
:
1. (500 ) , 652.26
:
o
o
o
2. (200 ) , 440.82
:
o
o
40
2
o
3.
:
1. :
o
o
o
2. :
o
o
o
3. :
o
o
o
4.
:
1. :
o
o
o
2. - :
o ,
o
o
3. :
o
41
2
o
o
4.
, :
1. :
o
o
o
2. :
o
o
o
3. - :
o
o
o
4.
:
• 500
• 200
:
• 652.26
• 440.82
, - ,
,
42
2
,
: ( )
,
